2の倍数かどうか
$100 \equiv 0, \ 10 \equiv 0 \ (mod \ 2)$ だから
$100 \cdot a + 10 \cdot b + c \equiv 0 \cdot a + 0 \cdot b + c \equiv c $ となり
1位の数が2で割り切れれば2の倍数。

3の倍数かどうか
$10 \equiv 1 \ (mod \ 3)$ の両辺を2乗すると$100 \equiv 1$、3乗すると$1000 \equiv 1$、$x$乗すると$10^x \equiv 1$ だから、
$100 \cdot a + 10 \cdot b + c \equiv 1 \cdot a + 1 \cdot b + c \equiv a + b + c \ (mod \ 3)$ となり
各位の数字の和が3で割り切れれば3の倍数。

4の倍数かどうか
$100 \equiv 0 \ (mod \ 4)$より、$1000 \equiv 0$、$10000 \equiv 0$、$10^x \equiv 1 (x > 1)$ だから
$1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + d \equiv 0 \cdot a + 0 \cdot b + 10 \cdot c + d \equiv 10 \cdot c + d$ となり
下2桁が4で割り切れれば4の倍数。

5の倍数かどうか
$10 \equiv 0 \ (mod \ 5)$ よって $10 ^x \equiv \ (mod \ 5)$ だから
$100 \cdot a + 10 \cdot b + c \equiv 0 \cdot a + 0 \cdot b + c \equiv c \ (mod \ 5)$ となり
1の位の数が0か5であれば5の倍数。

6の倍数かどうか
各位の数字の和が3で割り切れ、1の位が2で割り切れれば6の倍数。

7の倍数かどうか
$10 \equiv 3 \ (mod \ 7)$ の両辺を10倍していくと
$10^2 \equiv 30 \equiv 2$, $10^3 \equiv 20 \equiv -1$, $10^4 \equiv -10$, $10^5 \equiv -10^2$, $10^6 \equiv 1$, $10^7 \equiv 10 \equiv 3$ と6乗ずつで一巡するから、
$10^6 \cdot a + 10^5 \cdot b + 10^4 \cdot c + 10^3 \cdot d + 10^2 \cdot e + 10 \cdot f + g \equiv a - 10^2 \cdot b - 10 \cdot c -d + 10^2 \cdot e + 10 \cdot f + g$
$a - (10 \cdot b + 10 \cdot c + d) + (10 \cdot e + 10 \cdot f + g)$ が7で割り切れれば7の倍数。

8の倍数かどうか
$10^3 \equiv 0 \ (mod \ 8)$ より、下3桁が8で割り切れれば8の倍数

9の倍数かどうか
$10 \equiv 1 \ (mod \ 9)$ より $10^x \equiv 1$ となるので、
$10^2 \cdot a + 10 \cdot b + c \equiv a + b + c$ となり
各位の数字の和が9で割り切れれば3の倍数。

参考文献 : 遠山啓 数学入門 岩波新書 P12