三角形OABの面積 < 扇型OABの面積 < 三角形OACの面積　より $\dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r\sin{x} \ \lt \ \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot \ rx \ \lt \ \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r\tan{x}$
整理すると $\sin{x} \lt x \lt \tan{x}$ ... ①
①の各辺を $\sin{x}$ で割ると $1 < \dfrac{x}{ \sin{x} } < \cos{x}$
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \cos{x} = 1$ だから $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{x}{ \sin{x} } = 1$ となる。

また ①の逆数をとると $\cot{x} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{ \sin{x} }$
各辺に $\sin{x}$ をかけると $\cos{x} \lt \dfrac{ \sin{x} }{x} \lt 1$
だから $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ \sin{x} }{x} = 1$ となる。

ロピタルの定理 $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$