対数
log
$$
\log_{a}c = b \iff a^b = c \\
bを、aを底としたcの対数という。 \\
例：\log_{2}8 = 3 \iff 2^3 = 8
$$
$$
底の条件 : a \gt 0 \ (底が負だと連続関数にならない), \\
\hspace{65px} a \ne 1 \ (1の累乗は必ず1なので、底が1だと値が1にしかならない) \\
真数条件 : b > 0 \ (正の数の累乗は0以下にならない)
$$
底が1より小さい場合は右肩下がりのグラフとなる。
底が1より大きい場合は右肩上がりのグラフとなる。
$$
掛け算は足し算にできる。\log_{A}NM \iff \log_{A}N + \log_{A}M \\
割り算は引き算にできる。\log_{A}\frac{N}{M} \iff \log_{A}N - \log_{A}M \\
掛け算と割り算が複数あっても同じ。\log_{A} \frac {NM}{OP} = \log_{A} N + \log_{A} M - \log_{A} O - \log_{A} P \\
指数は前に出せる。\log_{A} B^n = n \log_{A} B \\
底は交換できる。\log_{A} B = \frac{ \log_{C}B }{ \log_{C}A } \\
底と真数が入れか替わったもの同士をかけると１になる。 \log_{A}B \times \log_{B}A = \frac{\ log_{B}B }{ \log_{B}A } \times \log_{B}A = 1 \\
a^{\log_{a}B} = B, \ 例:2^{log_{2}8} = 2^3 = 8
$$
常用対数 : 底が10の対数。
自然対数 : 底がeの対数。底のeは省略する場合が多い。
logを使うと大きい数Nの桁数がわかる。
$$
a + \log_{10}x < \log_{10}N < a + \log_{10}y
\Rightarrow 10^{a + \log_{10}x} < 10^{\log_{10}N} < 10^{a + \log_{10}y}
\Rightarrow 10^a \times x < N < 10^a \times y
$$
だから、Nはa-1桁の数となる。
底を10から2に変えればNが2進数の場合の桁数、16に変えれば16進数の場合の桁数がわかる。
有限会社コスギデンサン