シグマ

公式	\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{n} a_k + \beta \sum_{k=1}^{n} b_k \)

等差数列 arithmetic progression

一般項	\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
和	\( \ S_n = \dfrac{n}{2} (a_1 + a_n) = \dfrac{n}{2} \left[ a_1 + \{ a_1 + (n - 1)d \} \right] = \dfrac{n}{2} \{ 2a_1 + (n - 1)d \} \)
漸化式	\( a_{n+1} = a_n + d \)

等比数列geometric progression

一般項	\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
和	\( S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = a \dfrac{1-r^n}{1-r} \)
漸化式	\( a_{n+1} = r \cdot a_n \)

無限等比級数 geometric progression
初項 \( a \), 公比 \( r \) の無限等比級数
\( a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots \qquad ( = ar^0 + ar^1 + ar^2 + \cdots) \)
は, \( a \neq 0 \) のとき,
\( | r | < 1 \) ならば, 収束してその和は \( \dfrac{a}{1-r} \) となり,
\( | r | \geqq 1 \) ならば, 発散する。
\( a = 0 \) のとき、収束してその和は0。

累乗の和
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1 = n \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = ( \frac{n(n+1)}{2} ) ^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)

階差数列
漸化式 \(a_{n+1} - a_1 = f(x) \) であれば、\( a_n = a_1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \ (n \geqq 2) \) が成り立つ。

特性方程式
\( 1: 漸化式が \ a_{n+1} = pa_n + q \ の場合は \ c = pc + q \ が特性方程式であり, \ 一般項は \ a_{n+1} - c = p(a_n - c) \ から求められる。 \)

\( 2: 漸化式が \ a_{n+2} + pa_{n+1} qa_n = 0 \ の場合は \ t^2 + t + q = 0 \ が特性方程式である。\\ 特定方程式の解を \ \alpha, \ \beta \ とすると, \\ a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta ( a_{n+1} - \alpha a_n ) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} - \beta a_n ) \\ の二式から \ a_{n+2} の項を消去すると一般項が得られる。 \)