$$ {}_5\mathrm{P}_1 = 5 = 5 通り $$ $$ {}_5\mathrm{P}_2 = 5 \times 4 = 20 通り $$ $$ {}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60通り $$ $$ {}_5\mathrm{P}_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120通り $$ $$ {}_5\mathrm{P}_5 = 5! = 120通り = {}_5\mathrm{P}_4, \ {}_n\mathrm{P}_n = {}_n\mathrm{P}_{(n-1)} $$
$$ 3個のものから3個取り出す場合の順列は、{}_3\mathrm{P}_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \ 通り $$ $$ 4個のものから3個取り出す場合の順列は、{}_4\mathrm{P}_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24 \ 通り $$ $$ 5個のものから3個取り出す場合の順列は、{}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \ 通り $$ $$ 6個のものから3個取り出す場合の順列は、{}_6\mathrm{P}_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \ 通り $$

円順列 ： $$(n-1)!$$ $$一つを固定して、残りの順列(n-1)!を求める。$$
じゅず順列 ： $$(n-1)!/2$$ 裏返しても同じなので、円順列の半分となる。

$$ {}_5\mathrm{C}_0 = \frac{5!}{0!5!} = 1 \ 通り,   0個を取り出す組み合わせは1通りしかない。 $$ $$ {}_5\mathrm{C}_1 = \frac{5!}{1!4!} = 5 \ 通り,   {}_n\mathrm{C}_1 = n \ 通り, \ n個の中から1個を取り出す組み合わせは個数と同じでn通り。 $$ $$ {}_5\mathrm{C}_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{_5\mathrm{P}_2}{2!} = 10 \ 通り $$ $$ {}_5\mathrm{C}_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = \frac{_5\mathrm{P}_3}{3!} = 10$通り $$ $$ {}_5\mathrm{C}_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5 \ 通り,   {}_n\mathrm{C}_{(n-1)} = {}_n\mathrm{C}_1 = n $$ $$ {}_5\mathrm{C}_5 = \frac{5!}{5!0!} = 1 \ 通り,   {}_n\mathrm{C}_n = {}_n\mathrm{C}_0 = 1 $$
$$ 3個のものから3個取り出す場合の組合せは、{}_3\mathrm{C}_3 = 1 \ 通り $$ $$ 4個のものから3個取り出す場合の組合せは、{}_4\mathrm{C}_3 = \frac{4!}{1!3!} = 4 \ 通り $$ $$ 5個のものから3個取り出す場合の組合せは、{}_5\mathrm{C}_3 = \frac{_5\mathrm{P}_3}{3!} = 10 \ 通り $$ $$ 6個のものから3個取り出す場合の組合せは、${}_6\mathrm{C}_3 = \frac{_6\mathrm{P}_3}{3!} = 20 \ 通り
$$

組み分け
$$ 10個を、4個、3個、2個の組に分ける。 {}_{10}\mathrm{C}_4 \dot {}_6\mathrm{C}_3 \dot {}_4\mathrm{C}_2 $$