一次方程式 linear equation
$$ 点(p, q) \ における傾きが \ m \ の直線の方程式は \ y - p = m (x - q) $$

不等式 inequality
$$ a + b \lt -k $$ の両辺に-1をかけると、不等号の向きが変わり
$$ -a -b \gt k $$ となる。

剰余定理 factor theorem
$$ f(x) \ を \ (x-a) \ で割ったときのあまりは \ f(a) \ となる。 $$ $$ f(x) \ を \ (ax-b) \ で割ったときのあまりは \ f(\frac{b}{a}) \ となる。$$

因数定理 factor theorem
$$ f(x) \ が \ (x-a) \ という因数を持つ。\iff f(a) = 0 $$ $$ f(x) \ が \ (x-a) \ で割り切れるとき、f(a) = 0 となる。$$ $$ 例えば、f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \ の解が \ \alpha, \beta, \gamma \ の時に、f(\alpha) = f(\beta) = f(\gamma) = 0となる。 $$

相加平均と相乗平均の大小関係 magunitude relationship between arithmetic mean and geometric mean
$$ a > 0, b > 0 \ のとき、\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \ であり、等号が成り立つのは \ a = b \ の時である。 $$

解と係数の関係 relationship between solution and coefficient
$$ 二次方程式 \ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) \ の二つの解を \alpha , \beta \ とするとき, \ \alpha + \beta = - \frac{b}{a}, \ \alpha \beta = \frac{c}{a} \ が成り立つ。 $$ $$ 三次方程式 \ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a \neq 0) \ の三つの解を \alpha , \beta, \gamma \ とするとき, \ \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a}, \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a} \ が成り立つ。 $$

点と直線の距離 distance from a point to a line
$$ 点 (p, q) \ と直線 \ ax + by + c = 0 \ の距離 \ d = \frac{ | ap + bq + c | }{\sqrt{a^2 + b^2}} $$ $$ 原点 (0, 0) \ と直線 \ ax + by + c = 0 \ の距離 \ d = \frac{ | c | }{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

２点間の方程式
$$ 2点 \ (x_1, y_1) \ (x_2, y_2) \ を通る直線の方程式は, \ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) $$

円の接線の方程式 equation of a tangent line to a circle
$$ 円 \ x^2 + y^2 = r^2 \ 上の点(p, q) \ における円の接線の方程式は、p x + q y = r^2 \ で表される。 $$ $$ 円 \ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \ 上の点(p, q) \ における円の接線の方程式は、(p-a)(x-a) + (q-b)(y-b) = r^2 \ で表される。 $$ $$ p, q \ は円周上の点であるから、p^2 + q^2 = r^2 である。 $$

複素数の極形式 polor coordinates system of complex number
$$ z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$ $$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \ \theta=argz $$

ド・モアブルの定理 de Moivre's theorem
$$ (\cos \theta + i\sin \theta) ^n = \cos n\theta + i\sin n\theta $$

複素数平面上の円
$$ 複素数平面上で \ |z-\alpha|=r \ (\alpha \ は複素数(x + yi), r>0) \ を満たす点 \ z \ の全体は,点 \ \alpha \ を中心とする半径 \ r \ の円を表す。 $$

等差数列の和 arithmetic progression
$$ 一般項 \ a_n = a_1 + (n-1)d $$ $$ 和 \ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \left[ a_1 + \{ a_1 + (n - 1)d \} \right] = \frac{n}{2} \{ 2a_1 + (n - 1)d \} $$

等比数列geometric progression
$$ 一般項 \ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$ $$ 和 \ S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = a \frac{1-r^n}{1-r} $$

無限等比級数 geometric progression
$$ 初項a, \ 公比r \ の無限等比級数 $$ $$ a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots \qquad ( = ar^0 + ar^1 + ar^2 + \cdots) $$ $$ は, \ a \neq 0 \ のとき, $$ $$ | r | < 1 ならば, \ 収束してその和は \frac{a}{1-r} $$ $$ | r | \geqq 1 ならば, \ 発散する。 $$ $$ a = 0 \ のとき、収束してその和は0 $$

二項分布 binominal distribution
$$ 試行回数n, 確率p, 確率変数 \ X \ が二項分布 \ B(n, p) \ に従うとき、\ q = 1 - p \ とすると $$ $$ 平均 \ E(X) = np $$ $$ 分散 \ V(X) = npq $$ $$ 標準偏差 \ \sigma (X) = \sqrt{npq} $$

ケイリー・ハミルトンの定理 Cayley-Hamilton theorem
$$ 二次正方行列 \ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, 単位行列 \ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 零行列 \ O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ に対し $$ $$ A^2 = (a + d)A + (ad - bc)E = O \ が成り立つ。 $$

逆行列の有無
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} は, ad-bc \neq 0 \ のとき, 逆行列 \ A^-1 = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \ を持つ。 $$

eの定義
$$ \lim_{ x \to 0} (1 + x)^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x \to 0} (1 + \frac{1}{x})^{ x } = e $$ $$ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \cdots + \frac{1}{n!} = 2.713... $$

極限値
$$ \lim_{ x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = \lim_{ x \to 0} \frac{x}{ \sin x } = 1 $$ はさみうちの原理