対称式

symmetric polynomial

どの変数を入れ替えても成り立つ式を対称式という。
対称式は基本対称式だけで表すことができる。

$$ 二次方程式 \\ 基本対称式 : x+y, \ xy \\ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \\ x^2 + y^2 + z^2 = (x+y)^2 -3xy(x+y) \\ (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 4xy $$
$$ 三次方程式 \\ 基本方程式 : x+y, \ xy + yz + zx, \ xyz \\ x^2 + y^2 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) \\ x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz) $$

解と係数の関係

relationship between solution and coefficient
$$ 二次方程式 \\ ax^2 + bx + c = 0 \ の二つの解を \alpha , \beta \ とするとき, \\ \alpha + \beta = - \frac{b}{a}, \ \alpha \beta = \frac{c}{a} \ が成り立つ。(a \neq 0) \\ (x-\alpha)(x-\beta) = x^2 -(\alpha + \beta) + \alpha \beta $$
$$ 三次方程式 \\ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ の三つの解を \alpha , \beta, \gamma \ とするとき, \\ \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a}, \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a} \ が成り立つ。 (a \neq 0) \\ (x-\alpha)(x-\beta)(x - \gamma) = x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 +(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x + \alpha \beta \gamma \\ $$

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