$$
\sin 32^\circ,72^\circ,108^\circ \ と \ \cos 32^\circ,72^\circ,108^\circ を求める。
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$$
\theta = 36^\circ \ とおいて計算する。
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$$
\sin36^\circ \ と \ \cos36^\circ を求める。
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\sin(x) = \sin(\pi - x) より, \sin 72^\circ = \sin 108^\circ だから, \theta = 36^\circ とすると, \sin 2\theta = \sin 3\theta となる。
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$$
2倍角の公式と3倍角の公式より, \ 2\sin\theta\cos\theta = -4\sin^3\theta + 3\sin\theta
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$$
4\sin^3\theta + 2\sin\theta\cos\theta + 3\sin\theta = 0
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\sin\theta(4\sin^2\theta + 2\cos\theta + 3) = 0 \ より \ 4\sin^2\theta + 2\cos\theta + 3 = 0
$$
$$
4(1 - \cos^2\theta) + 2\cos\theta - 3 = 0
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$$
4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0
$$
$$
二次方程式の解の公式を適用し, \ \cos\theta = \frac {1 \pm \sqrt{5} } {4}。 ただし, \ \cos36^\circ > 0なので, \ \cos36^\circ = \frac {1 + \sqrt{5} } {4}
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$$
\sin36^\circ = \sqrt{ 1 - \left( \frac{1 + \sqrt{5}} {4} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} }{4}
$$
$$
\sin72^\circ \ と \ \cos72^\circ を求める。
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$$
\sin72^\circ = \sin2\theta = 2\sin\theta2\cos\theta = 2 \cdot \frac{ \sqrt{10 - 2\sqrt{2}} }{4} \cdot \frac {1 + \sqrt{5} } {4} = \frac{ \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5}} } {4}
$$
$$
\cos72^\circ = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5} } }{4} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} }{4}
$$
$$
\sin108^\circ \ と \ \cos108^\circ を求める。
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$$
\sin108^\circ = \sin72^\circ = \frac{ \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5}} } {4}
$$
$$
\cos(x) = -\cos(\pi - x)より, \ \cos108^\circ = -\cos72^\circ = -\frac{ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} }{4}
$$